Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Цель курса: уверенно решать системы линейных уравнений, работать с матрицами и линейными операторами, а также решать базовые задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.

Фокус: Матрицы, СЛАУ, геометрия
Ключевой навык: Метод Гаусса + спектральные основы
Экзамен: Теория + вычислительные задачи

1. Векторы и операции

1.1. Координатная форма

Вектор в R^n задается набором координат a=(a1,...,an).

Сложение: a+b=(a1+b1,...,an+bn).
Умножение на число: λa=(λa1,...,λan).
Длина: |a|=sqrt(a1^2+...+an^2).

1.2. Скалярное, векторное, смешанное произведения

Операция	Формула	Геометрический смысл
Скалярное	`(a,b)=sum a_i b_i = \|a\|\|b\|cosφ`	Угол, проекции, ортогональность
Векторное (R^3)	`a×b`	Площадь параллелограмма, нормаль
Смешанное	`(a,b,c)=a·(b×c)`	Ориентированный объем параллелепипеда

Если a·b=0, векторы перпендикулярны. Если a×b=0, векторы коллинеарны.

2. Матрицы и определители

2.1. Базовые операции с матрицами

Сложение и умножение на скаляр — покоординатно.
Произведение C=AB определено, когда число столбцов A равно числу строк B.
Транспонирование: (AB)^T = B^T A^T.

2.2. Определитель и его свойства

Для квадратной матрицы A определитель det(A) — число, кодирующее «объемный коэффициент» линейного преобразования.

Перестановка двух строк меняет знак определителя.
Пропорциональные строки ⇒ det=0.
det(AB)=det(A)det(B).
det(A^T)=det(A).

2.3. Обратная матрица

Критерий: матрица обратима тогда и только тогда, когда det(A) ≠ 0.

На практике обратную обычно не считают формулой через алгебраические дополнения, а получают методом Гаусса из блока [A|I].

3. Ранг и системы линейных уравнений

3.1. Ранг матрицы

Ранг rank(A) — максимальное число линейно независимых строк (или столбцов). Вычисляется через элементарные преобразования.

3.2. Теорема Кронекера-Капелли

Система Ax=b совместна тогда и только тогда, когда rank(A)=rank([A|b]).

Если этот ранг = числу неизвестных, решение единственное.
Если меньше — бесконечно много решений (есть свободные переменные).

3.3. Метод Гаусса (канонический алгоритм)

Прямой ход: привести матрицу к ступенчатому виду.
Проверка совместности.
Обратный ход: выразить базисные переменные через свободные.

Частая ошибка: терять эквивалентность при преобразованиях столбцов. Для решения СЛАУ в чистом виде применяют операции по строкам.

4. Векторные пространства и базисы

4.1. Линейная независимость

Система векторов v1,...,vk линейно независима, если равенство α1v1+...+αk vk=0 имеет только тривиальное решение α1=...=αk=0.

4.2. Базис и размерность

Базис — линейно независимая порождающая система.
Число векторов в любом базисе одинаково: это размерность.
Координаты вектора в базисе единственны.

4.3. Подпространства

Для подпространств U,V верна формула: dim(U+V)=dim U + dim V - dim(U∩V).

Для поиска базиса подпространства удобно собрать кандидатов в матрицу и запустить Гаусса: опорные столбцы дадут базис.

5. Линейные операторы и собственные значения

5.1. Оператор и матрица оператора

Линейный оператор T:V→V в выбранном базисе задается матрицей A. Смена базиса меняет матрицу, но не сам оператор.

5.2. Ядро и образ

Ker(T)={x: T(x)=0}.
Im(T)={T(x): x∈V}.

Формула ранга: dim Ker(T) + dim Im(T) = dim V.

5.3. Собственные значения и векторы

Ax=λx, x≠0. Чтобы найти λ, решают характеристическое уравнение det(A-λI)=0.

Разные собственные значения дают линейно независимые векторы.
Диагонализация возможна, если есть базис из собственных векторов.

6. Аналитическая геометрия

6.1. Прямая на плоскости

Общее уравнение: Ax+By+C=0.
Через точку и нормаль: n·(r-r0)=0.
Угол между прямыми по их нормалям или направляющим векторам.

6.2. Плоскость и прямая в R^3

Плоскость: Ax+By+Cz+D=0.
Прямая параметрически: r=r0+t·v.

6.3. Расстояния

Объект	Формула
Точка-плоскость	`d=\|Ax0+By0+Cz0+D\|/sqrt(A^2+B^2+C^2)`
Точка-прямая (R^2)	`d=\|Ax0+By0+C\|/sqrt(A^2+B^2)`

7. Кривые второго порядка

7.1. Канонические формы

Эллипс: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.
Гипербола: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
Парабола: y^2=2px (или эквивалентная форма).

7.2. Общая квадрика на плоскости

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. Тип кривой определяется дискриминантом B^2-4AC после приведения к главным осям.

Сначала убирают смешанный член Bxy поворотом осей, затем сдвигом координат приводят к канонической форме.

8. Практический минимум

8.1. Что нужно уметь без подсказок

Решать СЛАУ методом Гаусса, включая параметры.
Считать ранг и делать вывод о числе решений.
Находить собственные значения/векторы матрицы 2x2 и 3x3.
Решать задачи на углы и расстояния в аналитической геометрии.
Определять тип кривой второго порядка.

8.2. Тренировочный блок

10 систем СЛАУ (3x3 и 4x4), включая вырожденные случаи.
8 задач на собственные значения и диагонализацию.
10 задач на прямые/плоскости (пересечения, расстояния, углы).
6 задач на приведение уравнений второго порядка к канонике.

Минимум к экзамену

Критерии обратимости, совместности СЛАУ и диагонализуемости.
Теоремы: Кронекера-Капелли, формула ранга.
Гаусс как базовый универсальный инструмент.
Геометрический смысл скалярного/векторного/смешанного произведений.