Математический анализ I

1. Действительные числа и последовательности

1.1. Последовательность и предел

Последовательность {x_n} сходится к a, если для любого ε > 0 существует номер N, такой что при n ≥ N выполнено |x_n - a| < ε.

• Предел единственный.
• Сходящаяся последовательность ограничена.
• Арифметика пределов: x_n → a, y_n → b ⇒ x_n ± y_n → a ± b, x_n y_n → ab, x_n / y_n → a/b (если b ≠ 0).

1.2. Критерий Коши

1.3. Монотонные последовательности

Практический шаблон: доказать монотонность + ограниченность, затем найти предел через переход к пределу в рекуррентной формуле.

2. Предел функции и непрерывность

2.1. Предел функции в точке

lim_{x→a} f(x)=L означает: значения функции можно сделать сколь угодно близкими к L, если взять x достаточно близко к a (но x ≠ a).

2.2. Эквивалентность определений

• По Коши (ε-δ): формально и строго.
• По Гейне: через последовательности x_n → a, x_n ≠ a.

2.3. Непрерывность и разрывы

Функция непрерывна в точке a, если lim_{x→a} f(x)=f(a).

2.4. Ключевые теоремы на отрезке

• Вейерштрасс: непрерывная на [a,b] ограничена и достигает экстремумов.
• Больцано-Коши: принимает все промежуточные значения.
• Кантор: непрерывность на [a,b] ⇒ равномерная непрерывность.

3. Производная и дифференциал

3.1. Определение производной

f'(x0)=lim_{h→0} (f(x0+h)-f(x0))/h. Производная — скорость изменения функции; геометрически это наклон касательной.

3.2. Таблица базовых производных

3.3. Правила дифференцирования

• Линейность: (af+bg)'=af'+bg'.
• Произведение: (fg)'=f'g+fg'.
• Частное: (f/g)'=(f'g-fg')/g^2.
• Сложная функция: (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x).

3.4. Дифференциал и линеаризация

dy = f'(x)dx. Для малых dx: f(x+dx) ≈ f(x)+f'(x)dx.

4. Теоремы о среднем и формула Тейлора

4.1. Ферма, Ролль, Лагранж, Коши

• Ферма: если во внутренней точке локальный экстремум и функция дифференцируема, то f'(x0)=0.
• Ролль: если f(a)=f(b), то существует c∈(a,b) с f'(c)=0.
• Лагранж: f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).
• Коши: (f'(c))/(g'(c)) = (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)).

4.2. Следствия

• f' > 0 на интервале ⇒ функция строго возрастает.
• f' = 0 на интервале ⇒ функция постоянна.
• Оценка приращения: |f(b)-f(a)| ≤ M|b-a|, если |f'| ≤ M.

4.3. Формула Тейлора

При достаточной гладкости: f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x) .

Для практики обычно используют остаток в форме Лагранжа: R_n(x)=f^(n+1)(ξ)(x-a)^(n+1)/(n+1)!.

5. Исследование функций

5.1. Пошаговый алгоритм

1. Область определения, четность/нечетность, периодичность.
2. Нули и интервалы знакопостоянства.
3. Точки разрыва, поведение у границ области.
4. Производная: критические точки, монотонность, экстремумы.
5. Вторая производная: выпуклость и точки перегиба.
6. Асимптоты: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
7. Эскиз графика с проверкой ключевых точек.

5.2. Признаки экстремума

• 1-й признак: смена знака f'.
• 2-й признак: f'(x0)=0 и f''(x0)>0 (min), <0 (max).

5.3. Правило Лопиталя

Для неопределенностей 0/0 и ∞/∞: lim f/g = lim f'/g', если выполнены условия применимости.

6. Неопределенный интеграл

6.1. Базовые понятия

Первообразная F для f — функция, где F'=f. Тогда ∫f(x)dx = F(x)+C.

6.2. Табличные интегралы (ядро)

• ∫x^α dx = x^(α+1)/(α+1)+C, α ≠ -1.
• ∫dx/x = ln|x|+C.
• ∫e^x dx = e^x + C.
• ∫sin x dx = -cos x + C.
• ∫cos x dx = sin x + C.
• ∫dx/(1+x^2)=arctan x + C.

6.3. Методы

• Замена: u=φ(x), du=φ'(x)dx.
• По частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
• Рациональные функции: разложение на простейшие дроби.
• Тригонометрические интегралы: формулы понижения степени, универсальная подстановка t=tan(x/2).

7. Определенный и несобственный интегралы

7.1. Определенный интеграл Римана

Если функция ограничена на [a,b] и интегрируема, ∫[a,b] f(x)dx — предел интегральных сумм.

7.2. Свойства интеграла

• Линейность.
• Аддитивность по промежутку.
• Монотонность.
• Оценка: |∫f| ≤ ∫|f|.
• Теорема о среднем: для непрерывной f существует c, что ∫[a,b]f = f(c)(b-a).

7.3. Несобственные интегралы

Определяются через пределы: ∫[a,+∞) f = lim_{R→+∞} ∫[a,R]f, ∫[a,b] f при разрыве — через предел в точке разрыва.

8. Банк типовых задач

8.1. Что нужно уметь «автоматом»

• Строго доказывать предел последовательности по ε-N.
• Находить пределы функций с эквивалентностями и Лопиталем.
• Полностью исследовать функцию и строить график.
• Вычислять определенные интегралы двумя способами.
• Проверять сходимость несобственных интегралов.

8.2. Контрольные упражнения

1. Исследовать сходимость x_{n+1} = (x_n + 4/x_n)/2.
2. Найти lim_{x→0} (e^{2x}-1-2x)/x^2.
3. Исследовать и построить график f(x)=x^3/(x^2+1).
4. Вычислить ∫ x ln x dx и ∫[0,1] x e^x dx.
5. Исследовать ∫[1,+∞) dx/(x^p) по параметру p.